格林公式_∮_L Pdx+Qdy=∫∫_D (∂Q/∂x-∂P/∂y)dσ

公式展示

∮_L Pdx+Qdy = ∫∫_D (∂Q/∂x-∂P/∂y) dσ

L为D的正向边界

格林公式将平面闭曲线上的曲线积分转化为所围区域上的二重积分。

例1：求面积

椭圆x²/a²+y²/b²=1所围面积。
A=½∮xdy-ydx=πab

例2：曲线积分

∮_L (x²-y)dx+(x+sin²y)dy，L为正向圆周x²+y²=1。
∂Q/∂x-∂P/∂y=1-(-1)=2，积分=∫∫2 dσ=2π

例3：非闭曲线

补线后用格林公式，注意方向。

正向是逆时针

外边界取逆时针(正向)，内边界取顺时针。

区域单连通

有奇点(如原点)时需挖洞，用复连通区域格林公式。

P,Q偏导连续

在D内必须有一阶连续偏导数。

格林公式的正向怎么确定？

沿边界行走，区域在左侧。外边界逆时针，内边界顺时针。

格林公式怎么求面积？

A=½∮xdy-ydx，或A=∮xdy=-∮ydx。

曲线积分与路径无关条件？

在单连通区域内∂Q/∂x=∂P/∂y。